平方和等於多少公式

Ⅰ 有平方和公式嗎是什麼

平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (註：N^2=N的平方)

Ⅱ 平方和公式是怎麼來的.

數學歸納法可以證
也可以如下做
比較有技巧性
n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+......+n^2
=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)
由於n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前後消項]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+......+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
=n(n+1)[(2n+1)/6]
=n(n+1)(2n+1)/6
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利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
另外一個很好玩的做法
想像一個有圓圈構成的正三角形，
第一行1個圈，圈內的數字為1
第二行2個圈，圈內的數字都為2，
以此類推
第n行n個圈，圈內的數字都為n，
我們要求的平方和，就轉化為了求這個三角形所有圈內數字的和。設這個數為r
下面將這個三角形順時針旋轉60度，得到第二個三角形
再將第二個三角形順時針旋轉60度，得到第三個三角形
然後，將這三個三角形對應的圓圈內的數字相加，
我們神奇的發現所有圈內的數字都變成了2n+1
而總共有幾個圈呢，這是一個簡單的等差數列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
於是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6

Ⅲ 自然數平方和公式是什麼

公式如下：

平方和公式n（n+1）（2n+1）/6，即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n（n+1）（2n+1）/6。平方和公式是一個比較常用公式，用於求連續自然數的平方和，其和又可稱為四角錐數，或金字塔數也就是正方形數的級數。

應用

1、自然數列在「數列」，有著最廣泛的運用，因為所有的數列中，各項的序號都組成自然數列。

任何數列的通項公式都可以看作：數列各項的數與它的序號之間固定的數量關系。

2、求n條射線可以組成多少個角時，應用了自然數列的前n項和公式。

第1條射線和其它射線組成（n-1）個角，第2條射線跟餘下的其它射線組成（n-2）個角，依此類推得到式子1+2+3+4+……+n-1=n（n-1）/2。

Ⅳ n個數的平方和公式是什麼

n個自然數的平方和公式為：1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。

用數學歸納法：

n=1時，1=1*2*3/6=1成立；

假設n=k時也成立，那麼k(k+1)(2k+1)/6=1²+2²+...+k²；

那麼n=k+1；

1²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6

k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²=(k+1)(2k²+k+6k+6)=(k+1)*(2k²+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3)

=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)；

所以1²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6

＝（k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6；

即n=k+1時，也成立；

所以：1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。

兩數和的平方，等於它們的平方和，加上它們的積的2倍。叫做完全平方公式。為了區別，我們把前者叫做兩數和的完全平方公式，後者叫做兩數差的完全平方公式。

這兩個公式的結構特徵：

1、左邊是兩個相同的二項式相乘，右邊是三項式，是左邊二項式中兩項的平方和，加上或減去這兩項乘積的2倍。

2、左邊兩項符號相同時，右邊各項全用「＋」號連接；左邊兩項符號相反時，右邊平方項用「＋」號連接後再「－」兩項乘積的2倍。

3、公式中的字母可以表示具體的數，也可以表示單項式或多項式等數學式。

Ⅳ 平方和是什麼

平方和，就是2個或多個數的平方相加，通常是一些正整數的平方之和，整數的個數可以是有限個，也可以是無限多。平方和公式：n(n+1)(2n+1)/6，即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (註：n^2=n的平方) 本系列叢書搜集的是世界各國各歷史時期的初等數學經典。大多兼有數學教育史史料研究及彌補當前初等數學教材不系統、缺深度、少背景介紹等缺陷之功能。馮克勤所著的《平方和》為其中一冊，共分四章及附錄：本書介紹有關代數數論的幾段很不簡單的數學史，以及數學思想和解題方法。

公式：

平方和公式：

1、

（各數的平方之和）

2、a²+b²=(a+b)²-2ab =(a-b)²+2ab（完全平方公式的變形）

Ⅵ 平方和公式和平方差公式是什麼

平方差公式是：a²-b²=(a+b)(a-b)；平方和公式是求連續自然數的平方和的公式用字母可表示為：【n(n+1)(2n+1)】/6。

1、平方和公式是一個比較常用公式，用於求連續自然數的平方和，其和又可稱為四角錐數，或金字塔數也就是正方形數的級數。

2、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。平方差: 一個平方數或正方形，減去另一個平方數或正方形得來的乘法公式。

3、完全平方差公式：(a-b)2=a2-2ab+b2，完全平方差:兩數差的平方, 等於它們的平方和，減去它們的積的2倍即完全。

Ⅶ 平方和是什麼公式是怎樣的

平方和，數學術語，定義為2個或多個數的平方相加。通常是一些正整數的平方之和，整數的個數可以是有限個，也可以是無限多。

平方公式(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，其中a^2+b^2是平方和。

平方和公式是一個比較常用公式，用於求連續自然數的平方和，其和又可稱為四角錐數，或金字塔數也就是正方形數的級數。此公式是馮哈伯公式的一個特例。

(7)平方和等於多少公式擴展閱讀：

數學是人類對事物的抽象結構與模式進行嚴格描述的一種通用手段，可以應用於現實世界的任何問題，所有的數學對象本質上都是人為定義的。

數學公式是人們在研究自然界物與物之間時發現的一些聯系，並通過一定的方式表達出來的一種表達方法。

表徵自然界不同事物之數量之間的或等或不等的聯系，它確切的反映了事物內部和外部的關系，是我們從一種事物到達另一種事物的依據，使我們更好的理解事物的本質和內涵。